数学研究在古代只是在少数地方，由少数学者所从事的活动，到了17、18世纪，由于数学教育的发展，数学知识的传播，数学迅速地在英国、法国、德国、意大利、俄国等国发展起来．其中最突出的有一个是法国数学学派，他们中的大多数来自巴黎理工科大学，另一个是以哥廷根大学为中心的德国数学学派．发展成为一个广阔的分析领域，并得到广泛的应用．接着活跃在数学界的是法国的“三L”，即拉格朗日、拉普拉斯和勒让德．拉格朗日在方程论方面丰富了代数学的内容，在数论、连分数、微积分、微分方程、变分法等方面都写了大量的论文．傅立叶和柏松是19世纪初叶的法国两颗数学明星，他们都从事应用数学的研究，并且在巴黎高等理工科大学任教．1822年，傅立叶发表了著名的《热的解析理论》，这是数学理论应用于物理的典范，它开辟了近代数学的一个巨大分支——傅立叶级数、傅立叶积分、傅立叶变换，这些统称为傅立叶分析．在数学分析的发展史上，极限理论的建立具有划时代的意义，这一工作是由大数学家柯西、外尔斯特拉斯等人完成的．柯西出生于巴黎，1805年入巴黎高等理工科大学，并获得拉格朗日和拉普拉斯的赏识．柯西兴趣广泛，他的数学专著、讲义和论文据统计超过七百种，有26卷之多，在数量上仅次于欧拉．柯西是数学分析方面集大成的人物，数学分析方面主要著作有三本：《分析教程》、《无穷小计算概要》和《微分学讲义》．这几部著作具有划时代的价值，给出分析学一系列基本概念的严格定义，奠定了以极限论为基础的现代数学分析体系．

19世纪末，世界数学中心在法国，庞加莱是首屈一指的权威，是高斯和柯西之后无可争辩的数学大师．庞加莱是一个数学的“万能者”，可以说是能对数学的所有分支(纯粹数学和应用数学)都作出贡献的最后一个人．他在微分方程自守函数、天体力学、拓扑学的研究方面部具有开创性的工作，并产生深远的影响．到本世纪初，法国数学渐渐集中在函数论方面，出现了波莱尔、勒贝格、毕卡等大数学家．由于第一次世界大战法国把年青的数学家和大学生都送到前线大批死亡，这个函数论的王国后继乏人，加上过份狭窄的研究领域，法国数学失去了世界数学中心的地位．

对20世纪数学的开创和发展起着核心作用的是德国哥廷根数学学派．20世纪哥廷根学派的全盛时期是从克莱因、希尔伯特开始的．克莱因以其著名的《埃尔朗根纲领》闻名于世，他从变换群的观点出发，把当时已有的各种几何学加以分类，他是哥廷根学派的组织者和领导者．希尔伯特在代数、几何、分析乃至元数学上的一连串无与伦比的数学成就，使他成为无可争辩的哥廷根数学学派的领袖人物．1900年，他在巴黎的国际数学家会议上发表演说，提出了著名的23个问题，表示他将领导新世纪的数学新潮流．从1900年到1933年，德国的哥廷根大学成为世界数学的中心．在哥廷根，闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据；冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析；女数学家诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路．以上极不完全的列举，已足以证明，德国的哥廷根确是国际数学中心．

1933年希特勒法西斯上台，把哥廷根学派全毁了．疯狂的排犹，使得哥廷根的主要数学家移居美国．这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了．

爱因斯坦(1879～1955，伟大的物理学家)

弗兰克(J．Franck，1882～1964．1925年获诺贝尔物理学奖)

冯·诺依曼(1903～1957，本世纪杰出数学家之一)

柯朗(1888～1972，哥廷根数学研究所负责人)

哥德尔(1906～1976，数理逻辑学家)

诺特(1882～1935，抽象代数奠基人之一)

费勒(W．Feller，1906～1970，随机过程论的创始人之一)

阿廷(1896～1962，抽象代数奠基人之一)

费里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，应用数学家)

外尔(1885～1955，本世纪杰出的数学家之一)

德恩(1878～1952，希尔伯特第3问题解决者)

此外还有波利亚、舍荀(Szegò)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)．外尔和冯·诺依曼在美国的普林斯顿高等研究所任教授，诺特则在普林斯顿附近的Max Bown女子学院，柯朗在纽约大学任教，创办了举世闻名的应用数学研究所．从此以后，美国数学居世界领先地位，普林斯顿取代哥廷根成为世界数学的中心，一直至今．

俄罗斯是当今的又一数学大国．俄国的数学有良好的传统，早在18世纪，欧拉这位大数学家在彼得堡工作过31年，19世纪俄国出现了创立非欧几何蜚声全球的数学家罗巴切夫斯基．19世纪后半叶，切比雪夫培养了马尔柯夫、李雅普诺夫等优秀数学家，形成了以切比雪夫为首的彼得堡学派．进入20世纪以后，莫斯科学派发展迅速，在函数论方面作出巨大世界贡献，自20年代以来，莫斯科的函数论学派取代法国跃居首位．该学派的创始人是叶戈洛夫和鲁金．莫斯科学派人才济济，亚历山大洛夫是本世纪拓扑学奠基人之一；柯尔莫戈洛夫是一位数学天才人物，他将概率论公理化尤为人所称道；邦德里雅金是著名的拓

扑学专家等．康脱洛维奇也是苏联著名数学家．他最出名的工作是在研究国民经济计划上提出的线性规划解法，目前已成为经济数学最基本的课题，具有强大的生命力．为此获得1975年诺贝尔经济奖．60年代以后，苏联数学更有重大进展，阿诺德(Arnold)、诺维科夫(Novikov)、曼宁(Mannin)等年轻人在拓扑学上有重要成就．现在的莫斯科也被人们视为世界的数学中心之一．

在本世纪20年代末30年代初，法国的一批年青的数学家迪多内(Dieudonnē，1906～)，韦伊(A．Weil，1906～)，亨利·嘉当(H．Cartan，1904～)，薛华荔(C．Chevalley，1909～1984)，组成了名为布尔巴基(Bourbaki)的团体，倡导法国数学改革，提倡结构主义，研究整个数学，编著《数学原本》，在二次大战后风靡一时，对20世纪数学有深远影响．“布尔巴基”现在还活着，但是已经老了，更年轻的法国数学家在开拓新领域．现在巴黎又恢复了西欧数学中心的地位．

值得一提的是波兰数学．这个曾被瓜分的小国，在1920年开始数学起飞，他们集中在一个相对狭窄的领域里：集合论与泛函分析，形成了自己的特色，出现了一批杰出的数学家如巴拿赫(Banach，1892～1945)，夕尔宾斯基(Sierpinski，1882～1969)等人．他们的学生如Ulam、Eilenberg、Tarski等人后来移居美国等地，在世界数坛著称．

日本，在1898年派遣高木贞治到德国哥廷根随希尔伯特学习代数数论．1920年他创立实域论，使日本数学挤身于先进之列．第二次大战后，小平邦彦、广中平祐等人又获世界最高数学奖——菲尔兹奖，与世界水平的差距不断缩小．

数学大国美国和俄罗斯继续领先，西欧紧随其后，日本正在迎头赶上．